射影几何学（英语：projective geometry），研究图形在射影变换下不变性质的几何学分支学科。射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理。后来在19世纪，又经过J.V.彭赛列、J.施泰纳、K.G.C.von施陶特、A.F.麦比乌斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。

设π是一个仿射平面。在π上，两条直线一般都相交于一点，而平行直线不相交。这种例外使某些定理的叙述显得复杂。为了排除这种例外，在每条直线上添加一个无穷远点，并假定平行直线相交于无穷远点。添上无穷远点的直线简单地称为线。全体无穷远点构成的集合称为无穷远线。这样得到的面称为扩大平面，并在平等对待无穷远元素和非无穷远元素而不加以区别时，称为射影平面。

为了平等对待无穷远元素和非无穷远元素，可以取另外一种模型。在平面π外任取一点O，考虑经过点O的所有直线的集合，称为线把O，那么射影平面上的元素和线把O中的元素是一一对应的：对应于π上的点P有线把中的直线OP；对应于无穷远点，即π上的平行线，是线把中与这族平行线平行的直线。反过来，π上的点可以认为是用平面π截线把所得到的。从线把得到π上的点称截影，从π得到线把中的元素称投影（从透视的角度看，得到的是投射线）。早在公元前200年，阿波罗尼奥斯就曾经把椭圆、双曲线、抛物线作为直圆锥面的截线来研究，因而称它们为圆锥曲线。在线把中看，所有的元素是平等的；无穷远点和普通点的差别是在用平面π去截线把时产生的。因此，通常把三维仿射空间中经过一点O的线把作为射影平面的模型。一般地，在n+1仿射空间中经过点O的线把称为n维射影空间。

为了将代数工具引进射影空间的研究，需要建立适当的坐标系。设P ⁿ是n维射影空间，它是n+1维仿射空间Aⁿ⁺¹中经过点O的线把。在Aⁿ⁺¹中取一个仿射标架{O;e₁,…, e_n+1}，那么线把P_n中的元素由一个非零向量

唯一确定；反过来，给定 P ⁿ中的一个元素，则它的方向向量被确定到差一个非零倍数。于是 P ⁿ中的元素与 v¹： v²：…： vⁿ⁺¹是一一对应的，这组不全为零的数( v¹,…, vⁿ⁺¹)称为 Pⁿ中点的 齐次坐标。 Pⁿ的齐次坐标系可以经受下列变换：

。式中 ρ≠0,( a ⁱ _j)∈GL( n+1, R)，即det(a ⁱ _j)≠0。在GL( n+1, R)中引进等价关系～：设 A， B∈GL( n+1, R)， A～ B当且仅当存在非零实数 ρ使得 B= ρ A。把 A∈GL( n+1, R)的～等价类记为[ A]，则PGL( n+1, R)={[ A]： A∈GL( n+1, R)}是一个群，称为射影群。

在仿射平面π上取一个仿射标架{O′; e₁,e₂}，对应地在三维仿射空间中取仿射标架{O;e₁,e₂,e₃}，其中

。假定在射影平面 P²上由仿射标架{ O; e₁, e₂, e₃}给出的齐次坐标系是( y¹, y², y³)，那么 π上的普通点( x¹, x²)对应于齐次坐标( x¹, x²,1)，即

。无穷远点的齐次坐标是( y¹, y²,0)。设 l是 π上的一条直线，它的方程是：

式中［ x¹,…, xⁿ⁺¹］是( x¹,…, xⁿ⁺¹)的～等价类，即与( x¹,…, xⁿ⁺¹)差一个非零倍数的数组的集合。